近日，南京年夜学固体微布局物理国度重点试验室、现代项目与运用科学学院的陈延峰传授团队的卢明辉传授课题组与西班牙马德里进步前辈质料研究所的Johan Christensen传授课题组互助配合回首了光声经典体系中拓扑物理的最新进展，并对于该研究标的目的提供了开放性的瞻望。相干综述以“A second wave of topological phenomena in photonics and acoustics”为题揭晓在《Nature》期刊上。其他介入撰写的有南京年夜学现代项目与运用科学学院张秀娟副传授、日立ABB电网研究中央Farzad Zangeneh-Nejad玻士以及南京年夜学姑苏校区功效质料与智能打造研究院陈泽国副传授。

通例拓扑光学以及声学体系，例如攻破时间反演对于称性的Chern绝缘体、保留时间反演对于称性并哄骗自旋轨道耦合实现的拓扑绝缘体、攻破空间（反演、镜面）对于称性实现的谷霍尔绝缘体、和具备奇特能带简并的无能隙拓扑布局、Floquet拓扑绝缘体等，它们的拓扑性子都由基在布洛赫能带理论的拓扑稳定量举行描写以及表征。然而，近来的研究注解，于非厄米、非线性、非阿贝尔或者存于拓扑缺陷的很是规体系中，体系哈密顿量的本征能量或者本征向量呈现复数、能带呈现环绕纠缠交叉，传统的布洛赫能带理论再也不合适表征其拓扑性子（见图1）。跟着年夜量相干研究事情的涌现，拓扑物理正于履历新一波的成长海潮。此中，光/声学体系患上益在其高度可控的质料设计、加工及检测平台，光子以及声子等博色子的非均衡态特征，正于迎来拓扑物理的新一波的成长。陈延峰传授以及卢明辉传授团队持久从事人工微布局质料拓扑物理的研究，于通例拓扑方面取患了很是富厚的研究结果，例如初次实现声拓扑绝缘体；于很是规拓扑物理范畴也堆集了较为富厚的研究经验，尤为是于非厄米拓扑方面，例如非厄米PT对于称、非厄米奇特特征、非厄米趋肤效应等。咱们留意到很是规拓扑物理最近几年来成长迅速，意想到对于其举行回首、总结以及瞻望的须要性以及火急性。本综述总结了最具代表性的几类很是规拓扑系统，包孕非厄米拓扑、非线性拓扑、非阿贝尔拓扑和拓扑缺陷等方面的最新进展，并对于该范畴的下一步成长提供了开放性的瞻望。

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图1.（a）通例拓扑绝缘体的典型能带布局（上），其拓扑性子凡是用非平淡的贝里曲率（下）来表征。（b）与通例拓扑体系差别，一些非厄米体系中的拓扑性子需要由复能带绕组（complex energy winding）来表征。（c）非线性体系中跟着体系输入功率的增长，能带布局没法正确界说，此时体系的拓扑性子可经由过程阐发传输相位及其绕组举动来举行表征。（d）三叶结绳结布局（左）、以及能带节点构成的编织布局（右），可以都用基本群 (the fundamental group) 来描写，于特定的布局间还具备必然的等价性。（e）涡旋缺陷，其拓扑性子源自在实空间中的布局扭曲，没法用倒空间的能带性子举行描写。

非厄米拓扑

非厄米性代表体系与外界存于着能量互换，这于开放体系中十分常见。非厄米体系具备复数本征值以及非正交的本征向量，这致使了一些有趣的非厄米拓扑物理征象，这些征象揭示出与厄米系统拓扑效应彻底差别的特性。本节将对于这些新颖的征象举行较为体系地评述。

与厄米体系近似，阐发非厄米体系的拓扑性子依然依靠能带以及带隙的观点。对于在非厄米体系，其复平面上本征能谱的带隙以线状或者点状的体式格局漫衍，对于应两种基本类型：假如体系的非厄米哈密顿量的复能谱被一条基线离隔，那末就说这个体系具备线带隙；假如存于一个复能量基点EB满意 [H(k)?EB]≠0[H(k)暗示体系哈密顿量，k代表布里渊区里的肆意波矢]，那末就说这个体系具备点带隙（详细示例见下方Box）。

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Box. 非厄米带隙。思量两种周期性格子，其非厄米性别离来历在原位增益/损耗（a）或者者非对于称耦合（b），前者会呈现线带隙，可进一步分为实带隙以及虚带隙（c），后者呈现非凡的点带隙（d）。

任何具备线带隙的非厄米哈密顿量均可以持续变换成厄米（对于应实带隙）或者者反厄米（对于应虚带隙）矩阵，响应的非厄米体系继续了其厄米体系的拓扑性子，是以这种型的非厄米拓扑稳定量可以于厄米拓扑稳定量的根蒂根基长进行适量的变换后获得。差别的地方于在非厄米体系中的界限态因为非厄米作用会履历放年夜或者损耗 (留意，于PT对于称体系中，它们可能仍为实模式)。非厄米界限态开导了光声经典波范畴的一系列研究，例如哄骗非厄米拓扑界限态放年夜的特性可以实现拓扑激光 (图2a)。研究发明，患上益在其拓扑鲁棒性的上风，非厄米拓扑界限态于激射历程中体现出功率密度的加强以及高不变性。拓扑激光的研究不只于光学中广泛开展，于声学中，人们也测验考试哄骗电热声耦合实现声学拓扑态的增益 (图2b)。

与线带隙差别，零维的点带隙具备很是非凡的本征能量绕组（见Box），这孕育发生了非厄米体系独占的能带拓扑布局，并致使了很多有趣的征象，例如非厄米趋肤效应、复能带编织、和无带隙的非厄米奇特特征等。非厄米趋肤效应是一种于非厄米驱动下体系所有的（或者部门的）本征态局域于界限处的效应，它的拓扑泉源恰是复能带的绕组。光学以及声学体系充实阐扬了其质料平台的上风，提出了实现非厄米趋肤效应的各类要领。例如，将时间调制运用到光纤环路，可以得到光子的不合错误称耦合从而孕育发生非厄米趋肤效应。受这一效应调制，光波发生不合错误称传输进而搜集到指定的界限位置（图2c）。

正常环境下，能带的扭曲以及编织（图2d）与点带隙的能量绕组相干。然而，近来的研究发明，对于在具备多条能带的非厄米体系，多带性子使患上只要小部门能带编织具备明确界说的点或者线带隙。针对于此，研究职员提出了同伦理论，哄骗编织群提供了更正常的非厄米能带表征，完美了点以及线带隙的表征要领。基在这一要领，人们发明复能带的扭曲以及编织能造成编织群，以至携带有非阿贝尔特性（更多会商见非阿贝尔物理末节）。

另外一个非厄米拓扑的新兴分支是无带隙非厄米简并。与厄米的简其实不同，非厄米简并凡是体现出奇特特征（exceptional characteristics）。例如，图2e展示了将散射损耗引入到光波导阵列中时，原本体系撑持的厄米外尔点酿成了非厄米外尔奇特环，其上所有能量本征值以及本征向量同时塌缩。联合多种晶格对于称性，非厄米简并可以以多种情势具象，例如奇特点、奇特线、奇特环、以至更繁杂的奇特链等。这些奇特特性一样属在非厄米能带拓扑的领域，可以经由过程点/线带隙或者同伦理论来举行表征。

综上，非厄米性与拓扑相的联合是光/声拓扑研究中一个蓬勃成长的范畴，人工布局的高度可设����APP计性也将进一步促成其根蒂根基以及运用研究。

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图2. 非厄米拓扑征象。（a）光学拓扑激光器。（b）声学非厄米拓扑微腔。（c）于具备不合错误称耦合以及非厄米点带隙的体系中实现非厄米趋肤效应。（d）于光学体系中，基在振幅以及相位调制器实现非厄米复能带的编织。（e）将散射损耗引入光螺旋波导阵列中，原本无损耗时的厄米外尔点扩大成为了非厄米的外尔奇特环。

非线性拓扑

年夜大都的拓扑布局都具备一个配合的特征：体系是线性的，即听从所谓的叠加道理。然而，非线性于很多物理体系中广泛存于，它可以致使很多有趣的效应，例如谐波天生、自聚焦以及孤子流传。体系中非线性的存于对于拓扑相及其界限态的理论理解提出了应战，这是由于当非线性变强时，周期性布局的模态解不克不及再使用类布洛赫函数来表征，甚至在不克不及正确界说能带布局以及拓扑稳定量。这些特性开导以及促成了非线性拓扑物理的广泛成长。

与传统的线性拓扑布局比拟，非线性拓扑布局提供了有趣的可重构性。此类拓扑体系的非线性举动象征着其界限态的动力学依靠在引发强度，经由过程调治外部泵浦能量强度，不只可以节制拓扑相变，还可以节制响应带隙内界限态的特性。这一特质可能为下一代具备拓扑特征的可重构光学以及声学装备提供开导。

图3a展示了一个由非线性引诱的光学拓扑绝缘体的例子，它是基在具备瓜代的线性以及非线性耦合光波导造成的二分方晶格。非线性耦合是经由过程于光波导的有用折射率之间引入掉谐来实现的，这迫使必然比例的光一直留于最初引发的波导中，从而致使克尔型非线性。于线性状况（低功率）时，晶格布局是拓扑平淡的，跟着光功率的增长，体系被驱动到高在某个功率阈值的拓扑非平淡状况，拓扑界限态随之孕育发生，如图3b所示。除了光学体系外，非线性拓扑布局于声学、机械平台等范畴也有研究。

图3a中描写的布局由无源元件制成，其特性对于应在厄米拓扑布局。近来，非线性拓扑绝缘体的观点已经扩大到非厄米体系范畴，体现出如PT对于称性等有趣征象。与厄米环境近似，非厄米拓扑体系中的非线性效应可以被看成调治旋钮来节制PT对于称性以及响应的非厄米拓扑界限态的性子。例如，研究职员基在增益以及损耗波导和界面缺陷构成非厄米SSH晶格，发明引入光学非线性可以转变波导折射率的实部，从而可以或许有用节制非厄米SSH晶格的增益以及损耗，使体系于PT对于称以及PT破缺状况之间切换，并陪同着拓扑零能模式的粉碎以及恢复，如图3c所示。

与非线性拓扑性子相干的另外一个有趣征象是与拓扑界限态共存的孤子波，这一征象正常发生于当非线性效应赔偿体系中的色散效合时。图3d展示了基在周期性调制的光波导阵列中，于非线性存于的环境下，光学克尔效应会致使光孤子波的造成，后者可以于不转变外形的环境下沿着拓扑布局的界限举行流传。拓扑界限孤子长短线性体系中独有的模式，不克不及简朴地按照线性体系中的能带拓扑来表征，其拓扑特征及分类还需进一步研究。

此外，以非平淡体极化为特性的非线性拓扑体系向更高阶扩大也是一个新兴标的目的，此中二阶非线性拓扑相已经经于理论上被提出，并于基在菱形kagome晶格构成的光学体系中获得了试验证明。如图3e所示，这种非线性二阶拓扑绝缘体撑持无带隙角态，可以经由过程体系的输入功率举行调控，无望于能量网络以及非线性激射等方面孕育发生运用。

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图3. 非线性拓扑布局。（a）二维非线性光学拓扑绝缘体，其非线性是基在具备掉谐折射率的耦合光波导予以实现。（b）于低功率状况下，光衍射到晶格内部；对于在高输入功率值，体系发生拓扑相变，酿成拓扑非平淡相，呈现手性界限通道。（c）基在耦合光波导的非厄米拓扑SSH模子，此中非线性节制体系的增益以及损耗，使其于PT对于称以及非PT对于称状况之间切换，并陪同着具备增益（左）以及损耗（右）界面的拓扑零能模式的粉碎以及恢复。（d）沿Floquet 拓扑绝缘体的边沿造成的光孤子波。（e）于二阶拓扑绝缘体的拐角处造成非线性惹起的角态。

非阿贝尔物理

能带拓扑惹起存眷与乐趣的焦点于在其鲁棒的界限相应上，谈及鲁棒性，一样平常糊口中能展示鲁棒性的还包孕绳结布局。绳结布局可由一组繁杂的绳结稳定量描写，于数学上可运用基本群理论对于绳节余空间 (knot completement) 举行分类，而最多见的三叶节绳结群就长短阿贝尔的。非阿贝尔群以群乘法运算的非互换性为特性，于物理学中遍及存于。本节扼要评述了最近几年来经典波体系中关在非阿贝尔布局（包孕非阿贝尔规范场、非阿贝尔几何相、非阿贝尔拓扑荷与能带中的绳结布局）的最新研究。

引入非阿贝尔运算的一个常见例子是于三维空间中缭绕x轴以及y轴举行两次扭转，将此扭转操作类比为规范操作且映照到物理量中，可以实现非阿贝尔规范场。例如，思量希尔伯特空间正交的两个简并光学模式，哄骗含时调制与法拉第效应这两种攻破时间反演对于称性的效应去实现光学模式于希尔伯特空间的扭转，别离对于应在图4（a）的两个扭转算符以实现非阿贝尔的规范场。编织是另外一种无望实现容错拓扑量子计较的非阿贝尔运算，于二维中互换两个肆意子可以模仿编织操作，当触及三个或者更多肆意子时，该编织操作长短阿贝尔的。然而迄今为止，肆意子的试验不雅测方面仍旧存于相称年夜的技能应战。有趣的是，参数空间中两个简并态沿着球体八分之一外貌的平行传输可以实现类比在肆意子互换的“态的互换”，再现了编织操作。于声学以及激光直写波导阵列中可以经由过程多个简并态的绝热演化来复现非阿贝尔几何相，从而天生幺正群和编织群（图4b）。于经典体系中，纯真的手征对于称掩护的模式简并长短常懦弱的，为了规避布局缺陷的影响，无望经由过程可调的外部场来动态地驱动简并模式。纵然没有完善的简并模式，多态演化也会引入非阿贝尔举动，例如非阿贝尔Thouless泵浦，其非阿贝尔性子源自三个状况之间两个差别泵浦轮回的组合。非阿贝尔几何相位也存于在自对于偶的机械体系中，这会影响波包的流传并致使非互换的机械相应。此外，于非厄米体系中缭绕多个奇特点的状况互换也能够造成复能带的拓扑编织，此中差别结点布局的能谱已经经被不雅察到。置换群也能够长短阿贝尔的，缭绕奇特点的闭环操作凡是陪同着态的置换，如图4c展示了置换造成的非阿贝尔二面体群。

除了了摸索基在态把持的非阿贝尔征象外，研究职员还从头审阅了能带物理中的拓扑稳定量，并发明了其也可能具备非阿贝尔布局。 单个带隙或者带节点可以用拓扑稳定量来表征，对于称性的引入进一步富厚了其分类，其拓扑稳定量归为阿贝尔群。 基在阿贝尔群性子的知识以为，带以及带隙拓扑经由过程简朴的加减法彼此接洽，然后此中一个天然推论就是相反手征的外尔点聚于一路可以湮灭。 可是，假如思量基在多能带的拓扑纠缠，上面的结论就有待商议了。

与Dirac或者Weyl点相干的拓扑效应，凡是以阿贝尔的拓扑稳定量为特性， 然而，经由过程思量具备多能带构成的节点线金属，研究者发明此中蕴含着非阿贝尔特征。于特定对于称性掩护下，存于某规范可使患上态可用纯实数描写。云云，对于这些态空间举行分类可以更好地合用基本群理论现有的结论，其态空间基本群可所以阿贝尔群或者非阿贝尔群，与所触及的能带数量有相干性（图4d）。综合思量多能带惹起的非阿贝尔特征会涌现出一些差别的征象，包孕一维体系中Zak相描写以外的非平淡带隙以及响应界限态，和二维体系中的非阿贝尔能带节点以及欧拉类（Euler Class）。于三维上，哄骗基本群可以猜测各类可容许的节线构型，例如节点链、节点环以及节点耳饰等等，和它们之间的互相转化纪律。好比，非阿贝尔拓扑与空间对于称性的彼此作用使患上成对于的外尔点可能会分离或者转化为节线环。

可以看出，上述提到的非阿贝尔群，每每呈现于全局体系的研究中，综合思量了颠簸体系中内禀自由度、与外场彼此作用、高维参数空间与能带空间的结合作用等。其富厚的内涵布局势必引出年夜量待摸索的研究标的目的。例如，差别在闻名的体边对于应瓜葛，非阿贝尔拓扑中体-边对于应的问题还没有解决。虽然已经有试验事情表示其体边对于应瓜葛可能由非阿贝尔群的群乘法决议，可是这只是会商了一维景象，高维景象的推广还没有可知，而且其严酷的数学证实仍旧是一个应战。

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图4. 非阿贝尔颠簸物理，算符的不成互换性造成了非阿贝尔布局。（a）SU(2)群，此中含时调制以及法拉第效应别离对于应两个扭转算符。（b）编织群，此中沿着某些参数轮回的状况演化体现为编织算子。（c）置换群，此中于非厄米体系中互换的本征态体现为置换算符。（d）与阿贝尔拓扑稳定量表征的双带模子比拟，具备实本征态的多带模子触及到非阿贝尔能带拓扑，图中符号暗示由非阿贝尔群元素表征的能带节点。

拓扑缺陷

政府部缺陷被引入到拓扑晶格中，而总体的晶格对于称性并无被粉碎时，界限态或者角态依然存于。于本节中，咱们存眷的不是局部缺陷，而是原本完善晶体中的拓扑缺陷。这些拓扑缺陷因为于有序布局中组成局部扭结或者障碍物，是以不克不及经由过程晶格重排或者持续变形来修复。凡是，拓扑缺陷包罗一个序列被粉碎的焦点以及一个迟缓变迁的外部区域，可以按照粉碎的对于称类型来标志缺陷。例如，旋错以及位错别离粉碎了扭转以及平移晶格对于称性，而且于天然界中广泛存于。斑马的条纹图案就包罗这两种缺陷类型：于其四肢周围条纹标的目的的变迁中可以看到旋错（红框），而于新条纹破裂之处存于位错（蓝框），如图5a所示。除了此以外，另有其他典型的拓扑缺陷，好比多晶石墨烯中晶体之间的拓扑线缺陷即晶界，和于拓扑超导体中可以将Majorana束厄局促态束厄局促于涡旋核的拓扑涡旋等。

与前文所述很是规拓扑体系近似，拓扑缺陷体系的特性也没法用通例的基在倒空间中布洛赫能带理论举行表征。例如，超流体以及拓扑超导体中的涡旋缺陷不会被有序参数持续变形粉碎，具备拓扑性子，这与非平淡拓扑绝缘体中非零的贝里相具备相似的发源，然而这二者的表征却年夜不不异，盖因前者并没有周期性的观点，其拓扑性子需要用实空间绕组数来举行表征。又如，经由过程于周期体系中插手布局涡旋，可以打开带隙，并孕育发生零能态，这一零能态束厄局促在涡旋中央处，这就是经典的Jackiw-Rossi模子。自创这一拓扑涡旋的孕育发生道理，研究职员哄骗3D打印建造声学类石墨烯晶格，进一步经由过程引入Kekulé布局涡旋，实现了声拓扑涡旋态，这一声学态一样束厄局促在涡旋的中央，并携带非平淡的角相位绕组（图5b）。近似的要领被运用在固体声波体系中，研究职员于钢板上根据Kekulé布局涡旋摆列螺栓，实现了基在弯曲振动模式的固体声涡旋。于光学体系中，人们经由过程飞秒激光直写技能加工波导晶格、哄骗电子束光刻技能于硅片上刻蚀三角穿孔，别离于通讯波段上孕育发生近红外拓扑零能模式以及狄拉克涡旋拓扑腔面发射激光器。

近来，研究职员发明，旋错缺陷的发源与完善晶体（即没有旋错的晶体）的拓扑性子有关，并由此提出了体-旋错对于应瓜葛，它将完善晶体的体拓扑性子与实空间拓扑缺陷接洽起来。这一发明注解，从广义上讲，拓扑晶体绝缘体的量子化征象不只表现于完善晶体的界限处（对于应通例的拓扑界限态以及角态的呈现），还能表现于表征旋错缺陷扭转以及平移性子的Frank角以及伯格斯矢量上，后者可以用旋错处的分数电荷予以表征。人们发明于由四方晶格引入缺陷造成的旋错中，其拓扑缺陷态携带以e/4为单元量的分数电荷；而于由六方晶格造成的旋错中，拓扑缺陷态携带以e/6为单元量的分数电荷（图5c）。这里，e暗示单元电荷。值患上留意的是，于光/声学等经典体系中，电荷这一律念现实上表征的是模式的局域态密度于频谱上的积分截断。

除了二维体系中的缺陷外，三维体系一样存于拓扑缺陷。如图5d所示，研究职员经由过程将层状重叠的二维拓扑绝缘体举行切割以及粘合，于三维空间中组织出螺旋缺陷，其上束厄局促有螺旋位错模式。除了上述位错缺陷外，其他有趣的拓扑缺陷还包孕畴壁以及分形布局等。拓扑缺陷的研究，作为实空间拓扑与倒空间拓扑的前言，综合思量了两种拓扑的彼此作用，可以于波的局域性操控上提供新的思绪。

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图5. 拓扑缺陷。（a）斑马条纹中的拓扑旋错（红框）以及位错（蓝框）。（b）于声学体系中基在Kekulé布局涡旋组织的声学Jackiw-Rossi型拓扑缺陷。（c）基在四方以及六角晶格造成的拓扑旋错别离携带以e/4以及e/6为单元量的分数电荷。（d）经由过程切割-粘合二维重叠拓扑绝缘体造成的三维螺旋位错。

本论文总结了于光声经典波范畴，基在人工微布局质料的非厄米拓扑、非线性拓扑、非阿贝尔拓扑和拓扑缺陷研究的最新进展。这些很是规物理与拓扑相的联合孕育发生了很多史无前例的特征与征象，但于理论注释、性子摸索以及运用研究等方面另有很多亟待解决的问题，值患上人们进一步摸索。对于光声经典波范畴的拓扑相的根蒂根基物理以及各类效应举行研究，不只加深了人们对于在拓扑道理致使的颠簸物理新征象的理解，也将促成光波、微波、太赫兹波、等离激元波和声波、机械波等颠簸效应于项目范畴的新运用。期待这些很是规物理以及拓扑物理的联合会驱动光声经典波范畴的拓扑物理研究的新海潮。

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